MOC

조건부 확률를 이용해서 감염병 환자가 몇 명인지를 쉽게 구하는 방법은?

Main Problem: 도시를 무작위로 선택하고 $n$ 명의 표본을 추출하여서 그 중 감염병 환자가 몇 명인지 찾아내려면 어떻게 해야 할까? 그리고 그 때의 기대값과 분산은?

Assumption:

Condition:

MOC_Solution

Adam's Law를 이용하면

E (X) = E (E (X ∣ Q)) = E (n Q) = n E (Q)

베타 분포의 기댓값 $E (Q) = \frac{a}{a + b}$ 이므로,

E (X) = \frac{na}{a + b}

EVE's Law를 이용하면

Var (X) = E (Var (X ∣ Q)) + Var (E (X ∣ Q))

E (Var (X ∣ Q)) = E (n Q (1 - Q)) = n E (Q (1 - Q))

여기서 $E(Q(1-Q))$는 [LOTUS](../Laws/LOTUS.md)를 이용해 계산하면

E (Q (1 - Q)) = \int_{0}^{1} q (1 - q) \frac{Γ ( a + b )}{Γ ( a ) Γ ( b )} q^{a - 1} (1 - q)^{b - 1} d q = \frac{Γ ( a + b )}{Γ ( a ) Γ ( b )} \int_{0}^{1} q^{a} (1 - q)^{b} d q = \frac{Γ ( a + b )}{Γ ( a ) Γ ( b )} \cdot \frac{Γ ( a + 1 ) Γ ( b + 1 )}{Γ ( a + b + 2 )} = \frac{ab}{( a + b + 1 ) ( a + b )}

Var (E (X ∣ Q)) = Var (n Q) = n^{2} Var (Q)

Beta 분포의 분산 $\text{Var}(Q) = \frac{ab}{(a+b)^{2}(a+b+1)}$, ($\mu = E(Q) = \frac{a}{a+b}$일 때, $\text{Var}(Q) = \frac{\mu(1-\mu)}{a+b+1}$로도 표현 가능)

3. 결합:

Var (X) = n E (Q (1 - Q)) + n^{2} Var (Q) = n \frac{ab}{( a + b + 1 ) ( a + b )} + n^{2} \frac{ab}{( a + b ) ^{2} ( a + b + 1 )} = \frac{nab ( a + b ) + n ^{2} ab}{( a + b ) ^{2} ( a + b + 1 )} = \frac{nab ( n + a + b )}{( a + b ) ^{2} ( a + b + 1 )}